三角関数の公式には、覚えるものがたくさんあります。

「2倍角の公式」「半角の公式」「加法定理」など、公式を一つひとつ丸暗記しようとすると、数が多くて大変ですよね。

でも、これらの公式はバラバラに存在しているわけではありません。

加法定理 → 2倍角の公式 → 半角の公式

というように、公式同士がつながっています。

前回のコラムでは、2倍角の公式について「公式そのものだけでなく、作り方を覚えるべし」という話をしました。

今回は、その2倍角の公式を使って、半角の公式を作ってみましょう。

まずは半角の公式を確認しよう

半角の公式には、次のようなものがあります。

$$\cos^2\frac{\Theta}{2}=\frac{1+\cos\Theta}{2}$$

$$\sin^2\frac{\Theta}{2}=\frac{1-\cos\Theta}{2}$$

この公式を見て、

「これは覚えないとダメだな……」

と思うかもしれません。

もちろん、最終的には自然に使えるようにしておきたい公式です。

しかし、この公式も2倍角の公式から作ることができます。

まずは2倍角の公式を使おう

2倍角の公式には、

$$\cos 2\Theta=2\cos^2\Theta-1$$

という公式があります。

これを変形してみましょう。

$$\cos 2\Theta=2\cos^2\Theta-1$$

-1を左辺に移項して、

$$1+\cos 2\Theta=2\cos^2\Theta$$

さらに2で割れば、

$$\cos^2\Theta=\frac{1+\cos 2\Theta}{2}$$

となります。

ここまでなら、それほど難しくありません。

「作りたい形」から考えてみよう

では、

$\cos^2\frac{\Theta}{2}$

を作りたいとします。

先ほど作った公式は、

$$\cos^2\Theta=\frac{1+\cos 2\Theta}{2}$$

でした。

ここで、

「$\cos^2\Theta$ を $\cos^2\frac{\Theta}{2}$ にしたい」

と考えます。

つまり、今の公式の「$\Theta$」の部分を、

$\frac{\Theta}{2}$

に置き換えてみればよいわけです。

すると、

$$\cos^2\frac{\Theta}{2} = \frac{1+\cos\left(2\times\frac{\Theta}{2}\right)}{2}$$

となります。

ここで、

$$2\times\frac{\Theta}{2}=\Theta$$

なので、

$$\boxed{\cos^2\frac{\Theta}{2}=\frac{1+\cos\Theta}{2}}$$

となります。

これが半角の公式です。

「2x＝Θ」と考えても同じ

半角の公式を作るとき、

「$2x=\Theta$ と置けばいい」

と考える方法もあります。

もちろん、この考え方でも正しく導くことができます。

ただし、公式の作り方を理解するという意味では、

「今ある公式から、作りたい形に持っていく」

と考えるほうが自然です。

今回は、

$\cos^2\Theta$

を

$\cos^2\frac{\Theta}{2}$

にしたい。

だから、公式の中の $\Theta$ を

$\frac{\Theta}{2}$

に置き換える。

この流れです。

「どんな形を作りたいのか」を先に考えることがポイントです。

sinの半角の公式も同じように作れる

今度は、

$$\sin^2\frac{\Theta}{2}$$

の公式を作ってみましょう。

2倍角の公式には、

$$\cos 2\Theta=1-2\sin^2\Theta$$

という形もあります。

これを変形すると、

$$\cos 2\Theta=1-2\sin^2\Theta$$

両辺を整理して、

$$1-\cos 2\Theta=2\sin^2\Theta$$

したがって、

$$\sin^2\Theta=\frac{1-\cos 2\Theta}{2}$$

となります。

ここで、先ほどと同じように、

$$\Theta\rightarrow\frac{\Theta}{2}$$

と置き換えます。

すると、

$$\sin^2\frac{\Theta}{2} = \frac{1-\cos\left(2\times\frac{\Theta}{2}\right)}{2}$$

よって、

$$\boxed{\sin^2\frac{\Theta}{2}=\frac{1-\cos\Theta}{2}}$$

となります。

こちらも半角の公式が完成しました。

半角の公式は「突然出てくる公式」ではない

ここまで見てきたように、半角の公式は突然登場したわけではありません。

その大元をたどっていくと、

加法定理

↓

2倍角の公式

↓

半角の公式

というつながりがあります。

つまり、

「半角の公式を忘れてしまった！」

となっても、

2倍角の公式を思い出せれば、そこから作ることができる

わけです。

公式は「つながり」で覚えよう

高校数学では、公式をたくさん覚えなければならないように感じるかもしれません。

しかし、実際には、

「この公式は、どこから出てきたのか？」

を考えることで、覚える量を減らすことができます。

今回の半角の公式も、

加法定理から2倍角の公式を作る

↓

2倍角の公式を変形する

↓

作りたい形に合わせて $\Theta$ を $\frac{\Theta}{2}$ に置き換える

という流れで作ることができます。

「公式を丸暗記する」のではなく、

公式の作り方を覚える

という発想を持ってみてください。

もちろん、最終的には自然に使えるようにしよう

「作り方を覚えれば、公式を覚えなくてもいい」

という意味ではありません。

入試問題では、公式をすぐに使えることも重要です。

ですから、

最初は「作り方」を理解する。

↓

何度も問題を解く。

↓

最終的には公式を自然に使えるようになる。

という順番がおすすめです。

「丸暗記して終わり」ではなく、

意味やつながりを理解したうえで、使える状態にする。

これが高校数学では大切です。

青森市の高校生にも、公式の「意味」を大切にしてほしい

高校生にとって、三角関数は高校数学の中でも重要な分野です。

特に青森高校・青森東高校・青森南高校など、大学進学を一般受験で目指す高校生にとっては、三角関数の基本的な公式を使いこなせることが、その後の数学の学習にもつながります。

ただ公式を覚えるだけではなく、

「なぜこの公式になるのか」

「どの公式から作ることができるのか」

まで理解しておくと、公式を忘れてしまったときにも自力で立て直しやすくなります。

まとめ

今回のポイントは3つです。

① 半角の公式は2倍角の公式から作れる

$$\cos^2\frac{\Theta}{2}=\frac{1+\cos\Theta}{2}$$

$$\sin^2\frac{\Theta}{2}=\frac{1-\cos\Theta}{2}$$

これらは2倍角の公式から導くことができます。

② 「作りたい形」から考える

$$\cos^2\Theta$$

を

$$\cos^2\frac{\Theta}{2}$$

にしたいなら、公式の中の $\Theta$ を $\frac{\Theta}{2}$ に置き換えればよい。

この発想が大切です。

③ 公式は「つながり」で覚える

加法定理 → 2倍角 → 半角

このつながりを理解しておけば、公式を丸暗記する負担を減らすことができます。

「なぜそうなるのか」を大切にする数学

KATEKYO学院青森古川校では、完全マンツーマン指導だからこそ、公式をただ覚えるだけではなく、

「なぜこの公式になるのか？」

「どうやって使えばいいのか？」

「別の公式から作ることはできるのか？」

といったところまで、一人ひとりの理解度に合わせて確認することができます。

高校数学で「公式が多くて覚えられない」「覚えたはずなのに問題になると使えない」という人は、公式同士のつながりを意識してみてください。

数学は、バラバラの公式を覚える教科ではありません。

「作り方」を知ることで、公式同士が一本の線でつながっていきます。

KATEKYO学院 青森古川校では、完全マンツーマン指導で、一人ひとりの学習状況に合わせた指導を行っています。

「数学の公式が覚えられない」

「三角関数が苦手」

「大学受験に向けて数学を基礎からやり直したい」

という方も、お気軽にご相談ください。

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