数学の公式って、覚えるのが大変ですよね。

特に高校数学の三角関数では、

• $\sin 2\Theta$

• $\cos 2\Theta$

• $\sin 3\Theta$

• $\cos 3\Theta$

など、似たような形の公式が次々に出てきます。

「とにかく公式を全部暗記しよう！」

と思ってしまう人も多いのですが、実はそれが公式を忘れてしまう原因になることがあります。

今回のテーマは、

「2倍角の公式は、まず作り方を覚えるべし」

です。

まずは、以前覚えた「加法定理」

以前のコラムで、三角関数の加法定理について説明しました。

例えば、

$$\sin(\alpha+\beta) =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

そして、

$$\cos(\alpha+\beta) =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

でしたね。

ここで、ちょっとだけ考え方を変えてみましょう。

$\alpha=\Theta、\beta=\Theta$ としてみます。

すると、

$$\alpha+\beta=\Theta+\Theta=2\Theta$$

となります。

つまり、加法定理に $\alpha=\Theta、\beta=\Theta$ を入れるだけで、2倍角の公式が作れます。

これだけで「2倍角の公式」になる！

まず、sinの加法定理から、

$$\sin(\alpha+\beta) =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

に $\alpha=\Theta、\beta=\Theta$ を入れると、

$$\sin2\Theta =\sin\Theta\cos\Theta+\cos\Theta\sin\Theta$$

したがって、

$$\boxed{\sin2\Theta=2\sin\Theta\cos\Theta}$$

となります。

「2倍角の公式を覚えなきゃ！」

と思う必要はありません。

加法定理で、2つの角を同じ角にすればいい。

これだけです。

cosの公式も同じ

cosの加法定理は、

$$\cos(\alpha+\beta) =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

でした。

ここでも $\alpha=\Theta、\beta=\Theta$ とすると、

$$\boxed{\cos2\Theta =\cos^2\Theta-\sin^2\Theta}$$

となります。

これが、2倍角のcosの公式です。

ここでも、

「新しい公式を覚えた」のではありません。

「加法定理の2つの角を同じにしただけ」

なんです。

cosの公式は3つある。でも全部覚えなくていい

ここが今回のポイントです。

cosの2倍角には、次の3つの形があります。

$$\cos2\Theta =\cos^2\Theta-\sin^2\Theta$$ $$\cos2\Theta =2\cos^2\Theta-1$$ $$\cos2\Theta =1-2\sin^2\Theta$$

「3つも覚えないといけないの？」

と思った人。

大丈夫です。

まず覚えるのは、

$$\boxed{\cos2\Theta =\cos^2\Theta-\sin^2\Theta}$$

これだけでOKです。

あとの2つは、三角比の基本公式である

$$\sin^2\Theta+\cos^2\Theta=1$$

を使えば作れます。

例えば、$2\cos^2\Theta-1$を作ってみよう

まず、

$$\cos2\Theta =\cos^2\Theta-\sin^2\Theta$$

です。

ここで、

$$\sin^2\Theta=1-\cos^2\Theta$$

を代入すれば、

$$\cos2\Theta =\cos^2\Theta-(1-\cos^2\Theta)$$

となります。

整理すると、

$$\cos2\Theta =2\cos^2\Theta-1$$

できました。

同じように、

$$\cos2\Theta=1-2\sin^2\Theta$$

も作ることができます。

つまり、

「3つの公式を丸暗記」ではなく、「1つの公式から必要な形を作る」

という考え方です。

そして、3倍角も同じ考え方で作れる

ここまで分かったら、もう一歩進んでみましょう。

実は、3倍角も加法定理から同じように作ることができます。

例えば、

$$\alpha=2\Theta,\qquad\beta=\Theta$$

としてみます。

すると、

$$\alpha+\beta =2\Theta+\Theta =3\Theta$$

です。

例えばsinの加法定理なら、

$$\sin(2\Theta+\Theta) =\sin2\Theta\cos\Theta +\cos2\Theta\sin\Theta$$

となります。

ここに、すでに知っている2倍角の公式を入れて整理していけば、3倍角の公式を作ることができます。

つまり、

加法定理は、2倍角の公式を作るだけのものではありません。

知っている角度の組み合わせを考えれば、3倍角の公式も作れるわけです。

「3倍角の公式を覚えなきゃ！」

ではなく、

「加法定理を使えば作れる」

と考えておきましょう。

「公式を覚える」のではなく「公式に戻れる」ようにする

数学では、公式をたくさん暗記している人が必ずしも強いとは限りません。

むしろ、

「忘れても自分で作れる」

という状態のほうが強いです。

2倍角の公式を忘れてしまったとしても、

「そういえば、加法定理で2つの角を同じにすればいいんだった」

と思い出せれば、

$$\sin2\Theta=2\sin\Theta\cos\Theta$$

や、

$$\cos2\Theta =\cos^2\Theta-\sin^2\Theta$$

を自分で作ることができます。

さらに、

$$\sin^2\Theta+\cos^2\Theta=1$$

を使えば、cosの別の形も作れます。

そして、3倍角が必要になったら、

$$2\Theta+\Theta$$

と考えて、加法定理を使えばいい。

こう考えると、公式が少し身近に感じられませんか？

そして、最後は「使う」

ここまで説明すると、

「じゃあ、公式を全部覚えなくてもいいんだ！」

と思うかもしれません。

もちろん、最終的には自然に使えるようになっているのが理想です。

でも最初から全部を完璧に暗記する必要はありません。

最初のうちは、

加法定理 → 角を同じにする → 2倍角

という流れを何度も確認してください。

さらに、

加法定理 → $2\Theta+\Theta$ → 3倍角

という使い方も知っておきましょう。

問題を解いているうちに、

「この形、2倍角の公式だな」

「ここは $2\cos^2\Theta-1$ の形にしたほうがいいな」

と判断できるようになってきます。

そうなれば、公式は「覚えた」というより、使っているうちに自然と頭に入ってきた状態になります。

さて、2倍角の公式から「半角」も作れる？

ここまで読んできた人なら、こんなことを考えるかもしれません。

「2倍角の公式が作れるなら、逆に角度を半分にすることもできるんじゃない？」

その通りです。

例えば、

$$\cos2\Theta=2\cos^2\Theta-1$$

という2倍角の公式があります。

これを変形すると、

$$\cos^2\Theta=\frac{1+\cos2\Theta}{2}$$

と表すことができます。

ここで、「じゃあ、角度を半分にしたらどうなる？」と考えてみましょう。

すると、$\cos^2\frac{\Theta}{2}$を求める公式が作れそうですね。

つまり、

2倍角の公式を使って、半角の公式を作ることができる。

というわけです。

「公式は全部覚えるもの」と思っていた人には、ちょっと意外かもしれません。

でも、ここまでの話を思い出してください。

知っている公式を使って、新しい公式を作る。

これが今回のコラムのテーマです。

まとめ

今回覚えてほしいのは、2倍角の公式を全部丸暗記することではありません。

まずは、この流れを覚えよう！

① 加法定理を思い出す

↓

② 2つの角を同じにする

↓

③ 2倍角の公式ができる

↓

④ $\sin^2\Theta+\cos^2\Theta=1$を使えば、cosの別の形も作れる

そして、3倍角なら、

① 加法定理を思い出す

↓

② $2\Theta+\Theta$ と考える

↓

③ 3倍角の公式を作る

という具合です。

この考え方が身についていれば、公式を一時的に忘れてしまっても大丈夫。

そして、普段から問題を解いて使っていれば、いつの間にか公式そのものも覚えていきます。

最初だけ、ちょっと頑張りましょう。

「公式を覚える」よりも、

「公式の作り方を覚える」

これが、数学を楽にするコツの一つです。

次回は、この2倍角の公式を使って、半角の公式を作ってみましょう。

数学を「覚える」だけでなく「理解して使える」ように

数学の公式は、ただ暗記するだけでは、少し時間が経つと忘れてしまうことがあります。

大切なのは、

「なぜその公式になるのか」
「どの公式から作ることができるのか」
「問題の中でどう使うのか」

まで理解することです。

KATEKYO学院 青森古川校では、公式をただ覚えるだけではなく、一人ひとりの理解度に合わせて、数学の考え方から丁寧に指導しています。

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そんなときは、ぜひ一度ご相談ください。

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