カテキヨースタッフより！

2024年10月1日

【中学数学】正多面体は何種類？【高校数学】

皆さんこんにちは、青森県家庭教師協会・ＫＡＴＥＫＹＯ青森 青森事務局の大坂です。

今日は中学数学でも扱う正多面体について、正多面体が何種類あるのかを高校数学の範囲で証明してみたいと思います。

【正多面体】とは
全ての面が同じ大きさの正ｎ角形で出来ている立体図形の事

【正多面体は何種類ある？】
正多面体の定義からそれぞれの面を構成するのは正ｎ角形です。

ここで、正多面体の１つの頂点に注目してみます。
正ｎ角形の１つの内角は（ｎ－２）／ｎ × １８０°ですが、
１つの頂点に面がｍ枚集まると考えるとき，これの和は３６０°未満でないと立体が作れないので

　（ｎ－２）／ｎ × １８０° × ｍ ＜ ３６０°
⇒（ｎ－２） × １８０° × ｍ ＜ ３６０° × ｎ
⇒（ｎ－２） × ｍ ＜ ２ｎ
⇒ｎｍ ー ２ｍ ー ２ｎ ＜ ０
⇒（ｎ－２）×（ｍ－２） ＜ ４　（注）
　ｎ、ｍは整数なので、これを満たすｎ、ｍの組み合わせは
（ｎ、ｍ）＝（３,３）,（４,３）,（３,４）,（５,３）,（３,５)
　の５種類となる

（注）ここで使った証明では高校で習う整数問題の知識を使っています。
図形の問題、整数の問題、別物と考えて授業を受けている生徒は多いと思いますが、
分野を越えて解答に使う事は数学ではよくあることなので覚えておくといいでしょう。

ちなみに（ｎ,ｍ）=（３,３）は
正三角形、１つの頂点に集まる面が３つ　⇒　正四面体
（ｎ,ｍ）=（４,３）は
正方形、１つの頂点に集まる面が３つ　⇒　立方体
（ｎ,ｍ）=（３,４）は
正三角形、１つの頂点に集まる面が４つ　⇒　正八面体
（ｎ,ｍ）=（５,３）は
正五角形、１つの頂点に集まる面が３つ　⇒　正十二面体
（ｎ,ｍ）=（３,５）は
正三角形、１つの頂点に集まる面が５つ　⇒　正二十面体
です。


また、中学生の皆さんには
【公式】正ｎ角形の１つの内角は（ｎ－２）／ｎ × １８０°
は覚えておきましょう。

正三角形の1つの内角は　６０°
正四角形（正方形）の内角は　９０°
正五角形の内角は　１０８°
正六角形の内角は　１２０°
はこの公式から導き出せますよ！

中学校の範囲では他にも面の数、辺の数、頂点の数などが聞かれることがありますが、
それはまた別の機会に致します。


書いた人：青森事務局　大坂

青森市で、中学受験、高校受験、大学受験、受験予備校といえば、

"完全個別担任制"
KATEKYO学院　青森古川校
TEL　:　017-774-2277